Hilperts tönerne Füße

23/05/2014 § Hinterlasse einen Kommentar

Wie war das noch?
1899 hatte Hilbert, der Jahrhundertmathematiker
, die Grundlagen der Geometrie veröffentlicht und nachgewiesen, dass die Geometrie als formales System konstruiert werden kann auf Basis der formalisierten Arithmetik.

    In der Folge stellte er seiner Gemeinde (den Mathematikern) die Jahrhundertaufgabe, die Mathematik insgesamt auf feste Beine zu stellen und zu formalisieren. Dazu gab er Steps vor, wie z. B. die Kontinuumshypothese, die zuerst bewiesen werden sollten.

Das hat Gödel dann auch getan, aber so gar nicht in der von Hilbert beabsichtigten Art und Weise.

Vielmehr hat er die tönernen Füße, auf die Hilbert die Mathematik stellen wollte, gründlich zerschlagen.
Erstmals ging die Kontinuumshypothese flöten – Gödel zeigte zusammen mit Paul Cohen, dass die Hypothese im Rahmen der geltenden Mengentheorie weder bewiesen noch widerlegt werden kann. oooups! und auch Hilberts zweites Problem der Nachweis der Widerspruchsfreiheit für die Axiome der Arithmetik ging flugs den Bach runter.

Ein Fiasko für die Mathematik.
Die Existenz unbeweissbarer mathematischer Wahrheiten war nicht mehr anzweifelbar (das wollten die Mathematiker lange nicht sehen und schon gar nicht anerkennen)

Gödel war Zeit seines Lebens enttäuscht über die Unfähigkeit von anderen seine Schlussfolgerungen nachzuvollziehen.

Es war Johny von Neumann, der die Reichweite dessen, was Gödel da bewiesen hatte, auf einem Kongress in Königsberg aufzeigte.

Die Folgen für den Formalismus waren verheerend! Und auch Hilberts Verteidigungsmechanismus gegen Paradoxien mussten in die Tonne!

Gödel hat bewirkt, dass insbesondere unsere Intuitionen über das Unendliche, so anfällig sie auch für Fehlschlüsse ist, wie die berüchtigten Paradoxien zeigen, nicht durch sematikfreie mechanische Verfahren des Zeichengebrauchs (also durch Rechenoperationen in Computern) ersetzt werden können. Das ist doch mal eine gute Nachricht!

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